Меню

Логическая задача переправиться через реку не могут

Занимательные задачи по математике 6 — 7 класс. Переправы и разъезды

Предлагаю небольшую подборку задач на реки и мосты, переправы и разъезды. Они не привязаны к программам 6 и 7 класса, поэтому репетитор по математике может использовать их в 5-ом и даже в 4-oм классе. Но все-таки совсем маленьким ученикам (даже олимпиадникам) большинство задач покажутся слишком трудными (из-за большого перебора вариантов). Я ориентировался на уровень развития среднестатистического шести — семиклассника с математическим и логическим складом ума. Для него задачи репетитора по математике покажутся и не только интересными, но и более доступными. Тренируйте мозги у своих учеников!

1) Знаменитая задача про волка, козу и капусту:
Фермеру необходимо переправить через широкую реку капусту, козу и волка. Но беда в том, что в лодке с человеком есть одно место или для капусты или для козу или для волка. Если фермер оставит козу с волком, то волк может съесть козу, а если оставить капусту с козой, то она съесть капусту. В присутствии фермера никто никого не ест. Подскажите ему способ переправы на другой берег?

2) Отряд солдат подошел к реке и задумал через нее переправиться. Однако мост оказался сломанным, а река очень глубокой. Рядом с берегом в лодке сидят 2 мальчика, но их лодка настолько маленькая, что на ней можно переправиться на другой берег или только одиному солдату или только двум мальчикам — не больше. Как им переправиться?

3) Три рыцаря у каждого из которых был свой оруженосец съехались на берегу реки, к которому была привязана двухместная лодка. Их лошади переправились вплавь, а людей ждала лодка. Но оруженосцы, словно сговорившись, не захотели оставаться на берегу в компании незнакомых рыцарей. Иговоры и угрозы не помогли. Тогда оруженосцы подумали и нашли способ переправиться не нарушая требование оруженосцев. Как они это сделали?

4) Можно ли рыцарям переправиться при этих же условиях, если съедутся 4 рыцаря и 4 оруженосца?

5) К реке подошли 4 рыцаря и 4 оруженосца, но лодка оказалась трехместной. Можно ли осуществить переправу с теми же условиями оруженосцев?

6) К берегу реки подошли 3 контрабандиста с двумя мешками золота каждый. У берега нашлась трехместная лодка в которую помещались любые три мешка, или контрабандист + 2 мешка, или 2 контрабандиста + 1 мешок или 3 контрабандиста. Каждый из преступников не может оставить ни один из своих мешков наедине с другими преступниками, но может их оставить на безлюдном берегу. Могут ли все они переправиться через реку?

7) Четыре рыцаря с оруженосцами хотят переправиться через глубокую реку на лодке без гребца, вмешающая не более двух человек. Недалеко от места переправы есть островок, на котором можно высаживаться. Как можно переправиться с условием, что нигде (ни на берегах, ни в лодке, ни на острове) ни один оруженосец не находился в компании чужих для него рыцарей?

8) Поезд M приближается к железнодорожной станции и его обгоняет быстро едущий поезд из города N, который нужно пропустить вперед. От главного пути, около станции, отходит боковая ветка — тупик, на которую временно можно оттащить вагоны с главного пути, но она так мала, что может вместить весь поезд M. Как можно пропустить поезд N вперед?

9) По речному каналу один за другим плывут три парохода: M;N и K. Навстречу им плывут еще три парохода, идущие также один за другим: P;H и E. Канал такой ширины, что два парохода не могут в нем разъехаться, но в конце одной из сторон канала есть карман в виде залива. В него можно отвести только один из пароходов. Могут ли эти пароходы разъехаться около этого кармана?

Дети с удовольствием решаю задачи предложенные репетитором математики, над которыми можно «думать рисунком». Объяснительные тексты к ним писать нет смысла, так как не хватит тетрадного листа. Достаточно нарисовать. К олимпиадным задачам они не относятся, а больше рассчитаны на развлечение и тренировку памяти, внимания и смекалки. Рисуйте и думайте на здоровье!

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике, Строгино
Задачи на разъезды прислал мой коллега Александров Григорий Павлович репетитор по математике. Москва, Митино.

Источник

Задачи на переправы и манёвры

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

В этом занятии собраны задачи, посвящённые различным затруднительным ситуациям, связанным с переправами каких-либо существ или предметов. При этом приходится придумывать какой-то способ или алгоритм, как это сделать. Обычно такие алгоритмы называют маневрами по аналогии с маневрированием войск, судов, составов и т. п.

В задачах на переправы нужно что-то или кого-то, куда-то перевезти или поменять местами, соблюдая какие-то правила. Например, простейшее упражнение на маневрирование – расположить три шарика в обратном порядке, если можно менять два соседних:

alt text

Решение предельно просто – меняем по очереди шарики, пока не получим желаемое. Например, так:

alt text

Рассмотрим ещё очень известную задачу.

Задача 1.

Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ел. Человек всё-таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал?

Решение.

Оставлять на берегу козу с капустой или волка с козой нельзя, поэтому первым делом человек забирает козу, перевозит её на другой берег, оставляет её там и возвращается (волка с капустой оставлять можно!). После этого с первого берега он забирает волка и везёт на другой берег, где сидит коза, но так как вместе их оставлять нельзя, то козу со второго берега он забирает и везёт на первый берег, где осталась лежать капуста. Таким образом, мы передали ход от козы к волку. Это основная идея решения этой задачи. Далее мы знаем, что капусту с козой оставлять нельзя, поэтому человек забирает капусту и везёт на второй берег. После этого он возвращается на первый берег, забирает козу и перевозит её на второй берег.

Как мы видим, текстовое изложение решения является сложным, ещё сложнее его придумать, поэтому легче всего решать эту задачу с помощью схемы.

alt text

Как можно кратко записать решение?

Решение:

Сначала человек перевёз козу. Затем он перевёз волка, а козу повёз назад. Затем он перевёз капусту и следующим рейсом – козу.

Комментарий для родителей:

Если на слух ребёнку сложно разобраться, то вы можете не только нарисовать картинку, но и «организовать перевозку» с помощью подручных средств: пуговиц, карандашей и т.п.

Для решения задач этого задания стоит моделировать рассматриваемую ситуацию из подручных материалов. Это поможет понимать те действия, которые нужно выполнить. А также рекомендуется не забывать про специальные свойства поездов (они состоят из вагонов, которые можно отцеплять), лодок (они могут двигаться в обе стороны) и так далее.

Задача 2.

Поезда А и Б приближаются навстречу друг другу. На дороге есть развилка, на каждую ветку которой вмещается пять вагонов и локомотив. Как разойтись поездам, если у каждого поезда десять вагонов?

alt text

Решение.

Машинист поезда Б проезжает за развилку и заводит на верхнюю ветку пять задних вагонов своего поезда, отцепляет их, а остальную часть поезда проводит назад по нижней ветке. Поезд А проезжает вперед вслед за Б, затем прицепляет к своему хвосту пять вагонов, стоящих на верхней ветке. Затем, эту операцию они повторяют ещё раз для пяти оставшихся вагонов поезда Б. Таким образом, в конце состава А прицеплены все вагоны состава Б. Теперь локомотиву Б нужно зайти на верхнюю ветку, а локомотиву А провести весь состав по нижней ветке направо и отцепить вагоны состава Б. Локомотиву Б остаётся прицепить их к себе, и поезда могут двигаться дальше.

Читайте также:  Моря реки острова окружающий мир

Задача №3

Два путешественника подошли к реке. На берегу реки обнаружилась лодка, способная перевезти лишь одного человека. Тем не менее, они смогли переправиться через реку и продолжить путешествие. Как это могло быть?

Подсказка.

Может, они шли не вместе?

Решение.

Это возможно, если они подошли к реке с разных берегов. Тогда первый переправился на берег второго, а второй на берег первого.

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Источник



Задачки на переправу через реку

Коза, волк и капуста

лодка

Крестьянин купил на базаре козу, кочан капусты и волка. По дороге домой надо было переправиться через реку. У крестьянина была маленькая лодка, в которую кроме него могла поместится только одна из его покупок.
Как ему переправить все товары через реку, если нельзя оставлять козу наедине с капустой и волка наедине с козой?

Людоеды и миссионеры

Три миссионера и три людоеда должны перебраться через реку. У них есть одна лодка, в которой помещаются только двое. Во избежание трагедии нельзя оставлять вместе больше людоедов, чем миссионеров.
Как переправиться через реку?

Семья

Отец, мать и двое детей – сын и дочь, должны переравиться через реку. Поблизости случился рыбак, который мог бы одолжить им свою лодку. Однако, в лодке могут поместится только один взрослый или двое детей.
Как семье переправиться через реку и вернуть рыбаку его лодку?

Люди и обезъяны

Три человека, одна большая и две маленькие обезъяны должны переправиться через реку. Есть одна лодка, в которой может поместиться не больше двоих. Только люди и большая обезъяна умеют грести. Нельзя, чтобы оставались вместе больше обезъян, чем людей, иначе обезъяны сожрут людей. Обезъяны могут выпрыгивать на берег, когда лодка причаливает.
Как им переправиться через реку?

Боязнь темноты

Одной семье надо пройти на другую сторону длинного, узкого и очень тёмного тоннеля. Отец может пройти сквозь тоннель за 1 минуту, мать – за 2, сын – за 4 и дочь за 5 минут. У них есть один факел, которого хватит ровно на 12 минут. В тоннеле могут идти не больше двух человек с факелом.
Как всей семье перебраться на другую строну тоннеля, если все боятся темноты?

Переправа через реку – игра

Цель игры – переправить всех людей через реку соблюдая следующие правила:

  1. На пароме могут находится не более 2-х человек.
  2. Только взрослые (отец, мать и полицейский) могут упралять паромом.
  3. Отец не может находится вместе с девочками в отсутствии матери.
  4. Мать не может находится вместе с мальчиками в отсутствии отца.
  5. Вор не может находится вместе с любыми членами семьи в отсутствии полицейского.

Click кружок, чтобы начать игру.
Click персонаж, чтобы переправить его на паром.
Click красную ручку, чтобы отправить паром на другую сторону.

Прыгающие лягушки – игра

Поменяйте местами лягушек. Три лягушки слева должны переместиться на 3 камня справа, а три лягушки справа – на 3 камня слева.

Каждая лягушка может прыгать только вперёд на соседний камень, если он пустует, или на пустующий камень позади соседней лягушки.
Click «REINICIAR», чтобы начать.

Цветы

Сколько у меня цветов, если все из них, за исключением двух, розы; а также все из них, за исключением двух, тюльпаны; помимо этого, все из них, за исключением двух, маргаритки?

Вычитание

Сколько раз можно вычесть число 2 из числа 32?

Парикмахерские

Парикмахерские

Остановившись проездом в маленьком городе, турист решил постричься. В городе было всего две парикмахерские, одна на улице Восточной, другая на улице Западной. В парикмахерской на Восточной был беспорядок, и сам парикмахер был пострижен отвратительно. В парикмахерской на Западной было чисто, и причёска у парикмахера была как у кинозвезды.
В какую из двух парикмахерских направился приезжий и почему?

Убийство в пустыне

А, B и С переходили через пустыню. А задумал убить С, подлил ночью в его воду яда и уехал от каравана. В тоже хотел убить С. Не зная, что вода уже отравлена, той же ночью он проделал дыру в бурдюке с водой С и уехал от каравана. С остался один без воды и через несколько дней умер от жажды.
Кто является убийцей, А или В?

Старший близнец

В один прекрасный день у Керри был день рождения. А через два дня день рождения был у её брата-близнеца Терри. Как так получилось?
Эта загадка заняла первое место на конкурсе «Как так?» в журнале «Гэймз магазин» (“Games Magazine”) в 1992 году.

Источник

Основы алгоритмики. Разбор задач «Переправы и переезды».

Содержимое публикации

Переправы и разъезды

ПЕРЕПРАВЫ

В задачах на переправы кто-то через что-то переправляется. В таких задачах принято (если явно не оговорено иного), что из подошедшей к берегу лодки все должны выйти на берег, даже тот, кто собирается плыть обратно. Иными словами, нельзя «выпрыгивать» и «выкидывать» что-то на берег.

Задач, в которых речь идет о переправах, очень много. Приведем два известных сюжета.

ПУТНИКИ И ДВУХМЕСТНАЯ ЛОДКА

Путник подошел к реке, по которой на лодке катались двое мальчиков. Как ему переправиться на другой берег и вернуть лодку детям, если лодка вмещает либо только одного взрослого, либо двоих детей? А как быть, если путников двое? Трое? Очень много?

Научимся сначала переправлять одного путника. Пусть он стоит на левом берегу и собирается переехать на правый. Сперва оба мальчика плывут на правый берег, один из мальчиков остается на правом берегу, а другой плывет на левый. Там он вылезает и ждет, пока путник переправится на правый берег. После чего мальчик, который был на правом берегу, садится в лодку и плывет за вторым мальчиком на левый берег.

Повторяя эти действия, можно переправить любое количество путников.

ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА

Крестьянин направлялся домой вместе с волком, капустой и козой. Всю дорогу он следил, как бы волк не съел козу, а коза капусту. Наконец, он подошел в реке, около берега которой нашел лодку. В лодке может поместиться, кроме крестьянина, либо только коза, либо только капуста, либо только волк. Как крестьянину переправить зверей и капусту, чтобы никто никого (и ничего) в процессе не съел?

Сперва крестьянину придется перевезти козу (если взять волка, то коза съест капусту, а если взять капусту, то волк съест козу). Затем он оставляет козу пастись на противоположном берегу и возвращается к волку и капусте. Теперь крестьянин может забрать, например, волка и перевезти его на противоположный берег. Осталось вернуться за капустой, но нельзя же оставить волка наедине с козой! Поэтому козу придется забрать с собой обратно на исходный берег. Далее крестьянин оставляет ее еще немного погулять и перевозит капусту. А затем возвращается за козой.

Канатная дорога

К кабинке канатной дороги на гору подошли четверо с весами 50, 75, 75 и 100 кг. Смотрителя нет, а в автоматическом режиме кабинка ходит туда-сюда только с грузом от 110 до 260 кг (в частности, пустой не ходит), при условии, что пассажиров можно рассадить на две скамьи так, чтобы веса на скамьях отличались не более, чем на 30 кг. За какое наименьшее количество переездов они все смогут подняться на гору? (Переезд – движение кабинки вверх или вниз).

Читайте также:  Есть возле берега реки особенное место танец

За какое наименьшее количество переездов они все смогут подняться на гору?

Конец формы

Решение задачи

Всех перевезти за одну поездку не удастся: 50+75+75+100>260. Ехать в первую поездку только двоим бессмысленно — им же придется и вернуться. Следовательно, в первый раз едут трое, и это люди весом 50 кг, 75 кг и 100 кг. Затем можно, например, спуститься тем, кто весит 50 кг и 75 кг. Затем вверх поднимаются оба весящие 75 кг. Вниз спускаются весящие 75 кг и 100 кг. И, наконец, вверх поднимаются люди весом 50 кг, 75 кг и 100 кг. Итого 5 переездов.

Есть еще второй (аналогичный) вариант, когда во второй поездке вниз спускаются те, кто весит 75 кг и 100 кг.

Горная река

К бурной горной реке подошли трое путников, первый весом 50 кг, второй весом 45 кг, а сколько весит третий – точно он не помнит, но где-то от 70 до 80 кг. Около берега стоит старая лодка, на которой есть надпись “Больше 100 кг не выдержит!”. За какое наименьшее количество переправ путники смогут переправиться через реку?

За какое наименьшее количество переправ путники смогут переправиться через реку?

Решение задачи

Все сразу переправиться не сумеют, одному ехать смысла нет, поэтому пусть первыми едут двое более легких. Затем пусть один из них останется на другом берегу, а второй в лодке вернется за третьим, самым тяжелым путником. Теперь переправляется в одиночестве самый тяжелый, а затем уже переправившийся легкий возвращается за оставшимся легким туристом.

Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян сидели за круглым столом (именно в такой последовательности), заспорили, и каждый поссорился со своими двумя соседями. Чтобы ехать дальше, им надо переправиться через реку в двухместной лодке. Каждый из мушкетеров отказывается оставаться вдвоем на берегу или быть в лодке с тем, с кем он в ссоре. Как им переправиться за как можно меньшее количество переездов?

Ниже заглавными латинскими буквами обозначены возможные комбинации мушкетеров в лодке. Выведите в качестве ответа последовательность букв, соответствующую наискорейшей переправе. Например, последовательность AAEA соответствует тому, что сначала переправился один Д’Артаньян и затем вернулся обратно, после этого на лодке переехали Д’Артаньян и Арамис, Арамис остался на противоположном берегу, а Д’Артаньян вернулся назад к Портосу и Атосу.

Д’Артаньян
B. Атос
C. Арамис
D. Портос
E. Д’Артаньян и Арамис
F. Д’Артаньян и Атос
G. Д’Артаньян и Портос
H. Арамис и Атос
I. Арамис и Портос
J. Атос и Портос

Решение задачи

Сначала переезжают мушкетеры, которые сидят напротив друг друга, то есть, либо Атос и Арамис, либо Д’Артаньян и Портос. Пусть это будут Атос и Арамис. Теперь один из них, например, Атос, остается на берегу, а второй (Арамис) возвращается обратно. Он остается на исходном берегу, а переправляется вторая пара мушкетеров, сидевших напротив (Д’Артаньян и Портос). Теперь Д’Артаньян и Портос и остаются на конечном берегу, а Атос возвращается за Арамисом. Получаем такую последовательность: HCGBH.

Еще три возможных варианта ответа: HBGCH, GAHDG, GDHAG.

Эльфы и гномы

Эльфы и гномы не любят друг друга, и если где-то одних оказывается по-крайней мере вдвое больше, чем других, они обязательно нападают. К левому берегу реки подошли 3 гнома, а к правому — 3 эльфа. Каждому нужно на противоположный берег. У левого берега есть двухместная лодка. Грести умеют один гном и один эльф.

За какое наименьшее количество переездов через реку им удастся переправиться без нападений?

Конец формы

Решение задачи

Задача решается однозначно. Сначала обязательно переправляются два гнома (если поплывет один, эльфы на него нападут). Теперь на правом берегу 2 гнома и 3 эльфа. Если обратно поплывут два эльфа, гномы нападут на оставшегося эльфа. Если обратно поплывут гном и эльф, эльфы нападут на оставшегося гнома. Следовательно, обратно плывет один эльф (который умеет грести). Он забирает оставшегося гнома и перевозит его на правый берег. Совершены три поездки и теперь все на правом берегу.

Чтобы никто ни на кого не напал, уехать может или один любой персонаж или гном с эльфом. Одному ехать нет смысла, поэтому отправляются гном, который умеет грести и эльф, который грести не умеет. Гном возвращается обратно и переправляются два эльфа (один из них умеет грести.)

Фонарик на мосту

Семья (папа, мама, сын и бабушка) ночью подошла к мосту, способному выдержать только двух человек одновременно. По мосту можно двигаться только с фонариком. Известно, что папа может перейти мост в одну сторону за минуту, мама – за три, сын – за шесть и бабушка – за десять минут. Если по мосту движутся двое, время перехода определяется более медленным из двоих. За какое наименьшее время они сумеют переправиться? (Фонарик у них один, кидать его нельзя, светить издали тоже нельзя.)

Если всех будет по очереди переводить папа, то получится слишком долго.

Поэтому поступим так: папа переведет маму (3 минуты) и вернется обратно (1 минута). Затем пойдут два самых медленных — сын и бабушка (10 минут), а обратно фонарик принесет мама (3 минуты). Затем перейдут мама и папа (3 минуты). Итого: 3 + 1 + 10 + 3 + 3 = 20 минут.

Источник

Задачи типа: «Переправы», «Фальшивый объект», «Переливания»

§1. Задачи типа: «Переправы», «Фальшивый объект», «Переливания»

1.1. Задачи типа «Переправы»

Задачи типа «переправы» — одни из самых старинных логических задач. Например, самая древняя из них – «Волк, коза и капуста» — встречается в сочинениях VIII века в сочинениях англосакского математика Алкуина (ок. 735—804).

Задача 1.1.1. Волк, коза и капуста

Условие задачи: Один человек должен был перевезти через реку волка, козу и кочан капусты. И не удалось ему найти другого судна, кроме как такого, которое могло выдержать только двоих из них. Нельзя было волка оставить с козой, а козу с капустой. Задача – переправить всех невредимыми.

Принцип решения: Рассмотрим пары «волк – коза» и «коза – капуста».

В первой паре присваиваем волку индекс А1, а козе – П1.

Во второй паре присваиваем коз индекс А2, а капусте – П2.

Следовательно, у волка индекс – А1, у козы – П1А2, а у капусты – П2.

Сначала перемещаем объект, являющийся активным и пассивным одновременно (в данном случае козу), затем возвращаемся обратно, берём любой оставшийся объект (волка или капусту), перевозим на другой берег, берём объект с индексами А и П (козу), переправляем обратно, берём другой объект (капусту или волка), переправляем на другой берег, возвращаемся назад, забираем объект с индексами А и П (козу), и переправляем на другой берег.

Ещё одна любопытная задача – «Отцы и дети».

Задача 1.1.2. Отцы и дети

Условие задачи: Двое друзей отправились на экскурсию, и каждый взял с собой своего сына. В пути они должны были переправиться через реку с помощью лодки, которая могла перенести самое большее 100 кг. Каждый из друзей вместе с рюкзаком весит 100 кг, а каждый из мальчиков 50 кг. Каким образом они переправились через реку?

Принцип решения: Сначала переправляются оба сына, потом один из них возвращается. Переправляется один из друзей, а возвращается второй сын. Затем снова переправляются оба сына, один из них возвращается, переправляется второй друг, а второй сын возвращается. В конце переправляются оба сына.

Есть ещё одна старинная задача, немного похожая на предыдущую – «Воинский отряд»

Задача 1.1.3. Воинский отряд

Условие задачи: Небольшой воинский отряд подошёл к реке, через которую необходимо было переправиться. Есть лодка, в которой сидят два мальчика. Лодка может вместить двух мальчиков или одного солдата. Как перевезти всех солдат через реку?

Принцип решения: В данной задаче можно составить цикл: два мальчика на другой берег – один возвращается – один солдат переходит – второй мальчик возвращается – второй солдат переходит. В данной задаче количество солдат не имеет значения.

Читайте также:  Река енисей координаты устья реки

Четвёртая задача встречается в одном из сочинений XIII века.

Задача 1.1.4. Каприз трёх девочек

Условие задачи: Через реку хотят переправиться три отца и три дочери. Имеется одна двухместная лодка. Как им переправиться через реку, чтобы ни одна из дочерей не оказалась на берегу с чужими отцами без своего?

Принцип решения: Переправляются две девочки. Одна из них возвращается и перевозит третью. Одна из девочек возвращается и остаётся со своим папой, а два других папы переправляются на тот берег. Один папа со своей дочкой возвращается на первый берег, девочка остаётся, а два папы отправляются на второй берег. Переезжает девочка и забирает с собой вторую девочку и за последней девочкой едет либо ёё отец, либо её подруга.

Следующая задача – одна из самых лёгких задач данного типа.

Задача 1.1.5. Ночная переправа

Условие задачи: Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 мин, мама – за 2 мин, сын – за 5 мин и бабушка – за 10 мин. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут, при условиях, что если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей, двигаться без фонарика нельзя, перебрасывать фонарик через реку нельзя, светить издали и носить друг друга на руках запрещено?

Принцип решения: Переходят папа и мама (2 мин), затем папа с фонариком возвращается (1 мин), переходят бабушка и сын (10 мин), мама с фонариком возвращается (2 мин), переходят папа и мама (2 мин).

1.2. Задачи типа «фальшивый объект»

Задачи этого типа также известны с давних времён. В основном они касаются монет, например, задача о 12 золотых монетах:

Задача 1.2.1. Задача о 12 монетах

Условие задачи: Имеется 12 золотых монет. Одна из них – фальшивая – легче остальных. Найти фальшивую монету за 3 взвешивания.

Принцип решения: Делим 12 монет на 3 равные части. Берём две любые группы и кладём на весы. Если весы в равновесии, значит фальшивая монета в третьей группе. Если весы не в равновесии, значит, дальнейшему исследованию подлежит группа монет, которая легче. Делим исследуемую группу монет пополам и взвешиваем. Дальше исследуем группу монет, которая оказалась легче после результата второго взвешивания. Снова делим пополам и взвешиваем в третий раз.

Есть усложнённый вариант этой задачи:

Задача 1.2.2. Бриллианты и весы

Условие задачи: Имеется 242 бриллианта. Один из них – природный – легче остальных. Найти природный бриллиант за 5 взвешиваний.

Принцип решения: Кладём на весы по 81 бриллианту для выделения 81 или 80 бриллиантов. Второй раз кладём по 27 бриллиантов для выделения 27 или 26 бриллиантов. Третий раз кладём по 9 бриллиантов для получения 9 или 8 исследуемых бриллиантов. Четвёртый раз кладём на весы по 3 бриллианта для выделения 3 или 2 исследуемых бриллиантов. И пятым взвешиванием выделяем природный бриллиант, опуская на весы по 1 бриллианту.

Также есть более сложный вариант задачи о 12 монетах:

Задача 1.2.3. Задача о 12 монетах (усложнённый вариант)

Условие задачи: Имеется 12 золотых монет. Одна из них – фальшивая, но не известно, легче она или тяжелее остальных. Найти фальшивую монету за 3 взвешивания и установить, легче она или тяжелее.

Принцип решения: Сложность задачи в том, что не известно, легче или тяжелее фальшивый объект. Делим на 3 группы. На чаши весов кладём монеты №№ 1, 2, 3, 4 и №№ 5, 6, 7, 8. Возможны два случая:

Случай 1. Весы в равновесии. Следовательно, фальшивая монета в третьей группе монет с №№ 9, 10, 11, 12. Сравним вес трёх из них, например, №№ 9, 10, 11 с монетами №№ 1, 2, 3. Если весы в равновесии, то фальшивая монета — № 12, и если сравнить её с № 1, то можно определить, легче она или тяжелее. Если же весы не в равновесии, то фальшивая монета – одна из №№ 9, 10, 11, причём по положению чашки сразу можно выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета. Затем кладём на весы по одной монете и определяем фальшивую монету.

Случай 2. Первое взвешивание не привело к равновесию. Пусть перетянула чашка с монетами №№ 1, 2, 3 и 4. Тогда фальшивая монета среди №№ 1, 2, 3, 4 и более тяжёлая, или она среди монет №№ 5, 6, 7, 8 и более лёгкая. Следовательно, монеты №№ 9, 10, 11, 12 – настоящие. Вторым взвешиванием сравним монеты №№ 9, 10, 11 и 5 с монетами №№ 3, 4, 6, 7. Тогда возможны три случая:

Случай 2.1. Весы в равновесии. Следовательно, выбранные монеты настоящие, а фальшивая – либо среди монет под №№ 1, 2 и более тяжёлая, либо под № 8 и более лёгкая. Сравнивая монеты №№ 1 и 2, установим, что фальшивая монета – лёгкая под № 8, если весы останутся в равновесии или, что фальшивая – тяжёлая № 1 или № 2 – та, которая перетянет.

Случай 2.2. Перетянет группа монет №№ 9, 10, 11 и 5. Тогда в этой группе фальшивой монеты быть не может, так как монета № 5 взята из группы более лёгких, а монеты №№ 9, 10 и 11 – настоящие, и эта чашка весов не могла бы перетянуть с тремя настоящими и одной фальшивой монетой. Следовательно, фальшивая – одна из монет под №№ 3, 4, 6, 7 и именно из группы, которая при первом взвешивании оказалась легче, то есть либо № 6, либо № 7. Более лёгкая из них выявляется третьим взвешиванием.

Случай 2.3. Перетянет группа монет №№ 3, 4, 6 и 7. Тогда – фальшивая монета более тяжёлая и находится на перетянувшей чашке весов — № 3 или № 4, или фальшивая монета более лёгкая и, следовательно, находится в группе монет №№ 9, 10, 11 и 5. В последнем случае – это монета № 5, так как монеты №№ 9, 10 и 11 – настоящие.

Следовательно, фальшивой монетой может быть одна из трёх: № 3 или № 4 (и тогда она более тяжёлая) или № 5 (и тогда она более лёгкая). Взвешиваем монеты №№ 3 и 4, и тогда если одна из монет перетянет, она и будет фальшивой, или если весы будут в равновесии тогда монета № 5 фальшивая и тяжелее остальных.

1.3. Задачи типа «переливания»

Задачи типа «переливания» имели самую большую практическую ценность, как в древние времена, так и в наши дни. Самая известная задача – задача о двух вёдрах.

Задача 1.3.1. Задача о двух вёдрах

Условие задачи: Есть два ведра объёмом 5 и 9 литров. Необходимо с помощью этих двух вёдер получить 3 литра воды.

Принцип решения: Наполняем 9-литровое ведро, выливаем 5 литров из 9-литрового в 5-литровое ведро, выливаем, переливаем 4 литра в маленькое ведро, наполняем большое ведро, сливаем из него один литр в маленькое ведро, выливаем маленькое ведро и переливаем 5 литров воды в маленькое ведро. В большом ведре осталось 3 литра воды.

Аналогичная задача была придумана французским физиком и математиком Симеоном Дени Пуассоном (1781–1840)

Задача 1.3.2. Задача Пуассона

Условие задачи: Во время экскурсии один из её участников купил бутыль вина ёмкостью 8 четвертей. Купленное вино необходимо было разделить пополам. Как можно было это осуществить, если на постоялом дворе было только два сосуда – один ёмкостью 5 четвертей и второй ёмкостью три четверти?

Принцип решения: Решение показано в формате «исходный сосуд – сосуд объёмом 5 четвертей – сосуд объёмом 3 четверти»:;;;;;;

Источник